axjack

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DWH/SQL/R/Python/Power BI/統計学/集合と位相/ https://axjack.hatenablog.jp

$# 繰り返し期待値 ## 周辺確率密度関数周辺確率密度関数は、得たい確率密度関数の変数では無い方で積分消去する。たとえば二変量確率密度関数$f_{X,Y}(x,y)$から$Y$の周辺確率密度関数を得たい時は、$X$で$f$を積分消去する。得られる関数は$y$の関数となる。 ```math f_Y(y) = \int_{\mathbb{R}}f_{X,Y}(x,y)dx ``` ## 条件付き確率密度関数条件付き確率密度関数は、同時確率密度関数なのだけれど$f_Y$の影響を受けている関数である。たとえば$Y=y$を所与のもとでの$X$の確率密度関数を得るには、$f_{X,Y}$を$f_Y$で除することによって得られる。得られた関数$f_{X|Y=y}$は、$Y=y$が外から与えられるパラメータ形式の、$x$の関数となる。 ```math f_{X|Y=y}(x) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)} ``` ### 確認 ```math E[X|Y=y] = \int_{\mathbb{R}} x f_{X|Y=y}(x) dx ``` ```math E[g(X)|Y=y] = \int_{\mathbb{R}} g(x) f_{X|Y=y}(x) dx ``` ## 繰り返し期待値の法則 ```math E[X]=E^X[X] = \int_{\mathbb{R}}xf_X(x)dx\\ = \int_{\mathbb{R}}x \left(\int_{\mathbb{R}}f(x,y)dy\right)dx\\ = \int_{\mathbb{R}} x \left(\int_{\mathbb{R}} \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}f_Y(y)dy\right)dx\\ = \int_{\mathbb{R}} x \left(\int_{\mathbb{R}} f_{X|Y=y}(x)f_Y(y)dy \right)dx\\ = \int_{\mathbb{R}} \left( \int_{\mathbb{R}} xf_{X|Y=y}(x)dx\right) f_Y(y)dy\\ = \int_{\mathbb{R}} E^{X|Y}\left[X|Y=y\right] f_Y(y) dy \\ = E^Y\left[E^{X|Y}\left[X|Y=y\right]\right] ```$

https://learn.microsoft.com/ja-jp/entra/

https://learn.microsoft.com/ja-jp/azure/machine-learning/how-to-manage-registries?view=azureml-api-2

$補題. $A-P⊂A.$ 演習.1.4.5 $P⊂A$で$f:A→B$が単射であるとき、$f(A-P)⊂f(A)-f(P)$を示せ。証明. $y∈f(A-P)$を一つ固定する。このとき$y=f(x)$となるような$x∈A-P$が存在する。次に$y$の属する集合について考える。まず、$y∈f(A)$は成り立つ。なぜならば$x∈A-P$より補題から$x∈A$であり、$y=f(x)∈f(A)$となるからである。次に、$y∈f(P)$とすると、$y=f(x')$を満たす$x'∈P$が取れる。ところで、この場合$y=f(x)=f(x')$となって$f$の単射性から$x=x'$しかし$x∈A-P$かつ$x∈P$となって矛盾。よって$y\notin f(P)$である。以上より、$y∈f(A)$かつ$y\notin f(P)$である。したがって$y∈f(A)-f(P)$が示された(証終)$